Trigonometri (Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları)

Bu konumuzda 8. sınıf trigonometri konusunu anlatacağız. Trigonometri Latince kökenli bir kelimedir ve trigonon(üçgen) ile metri (ölçmek) kelimelerinden türetilmiştir. Matematiksel olarak tanımı ise; üçgenlerin açıları ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi anlatan bir matematik dalıdır. Gelelim dar açıların trigonometrik oranlarına ve açıklamalarına;
Öncelikle bir dik üçgen çizmeli ve bir açı belirlemeliyiz. Bu seçtiğimiz açının karşısında kalan kenara “Karşı Dik Kenar” hemen yanındaki kenara ise “Komşu Dik Kenar” diyeceğiz. 90° nin karşında kalan kenara da “Hipotenüs” diyeceğiz.

dik üçgende kenarlar
yıldızDir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun, hipotenüsün uzunluğuna oranına o açının sinüsü denir ve kısaca “sin” ile gösterilir

Herhangi bir ABC üçgeni çizerek kenar uzunluklarını gösterelim.

dik üçgende oranlar 2

Yukarıdaki üçgende B açısının sinüs değeri SinB=\frac{KARSI}{HIPOTENUS}=\frac{b}{c}  olur.

yıldız

Bir dik üçgende bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o açının kosinüsü denir ve kısaca “cos” ile gösterilir.

dik üçgende oranlar 2

Yukarıdaki üçgende B açısının kosinüs değeri CosB=\frac{KOMSU}{HIPOTENUS}=\frac{a}{c}   olur.

yıldız

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir ve kısaca “tan” ile gösterilir.

dik üçgende oranlar 2

 

Yukarıdaki üçgende B açısının tanjant değeri TanB=\frac{KARSI}{KOMSU}=\frac{b}{a}   olur.

yıldız

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karı dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjant değeri denir ve kısaca “cot” ile gösterilir.

dik üçgende oranlar 2

Yukarıdaki üçgende B açısının kotanjant değeri  CotB=\frac{KOMSU}{KARSI}=\frac{a}{b}  olur.

ÖRNEK

trigonometrik oranlar 1
Yandaki ABC üçgeninde B açısına ait trigonometrik oranları yazınız.

 

 

ÇÖZÜM
B açısına ait sin, cos, tan ve cot değerlerini bulmalıyız.

sinB=\frac{8}{10}            cosB=\frac{6}{10}                  tanB=\frac{8}{6}                  cotB=\frac{6}{8}
olarak buluruz.

Aynı işlemleri A açısı içinde yapabilirdik. Yani A açısının sin, cos, tan ve cot değerlerini bulabiliriz. Bu değerler;
SinA=\frac{6}{10}           cosA=\frac{8}{10}                  tanA=\frac{6}{8}                       cotA=\frac{8}{6}

 

♦♦♦Yukarıdaki örnekte A ve B açılarına ait bulduğumuz bu değerlere bakarak bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Buna göre;

yıldız

Bir açının sinüs değeri onun tümleyeni olan açının kosinüs değerine eşittir. Yani,

Örnek olarak;

cot20=sin70

sin48=cos42  verilebilir.

yıldız

Bir açının tanjant değeri onun tümleyeni olan açının kotanjant değerine eşittir. Yani

Örnek olarak

tan78=cot12

cot50=tan40  verilebilir.

BAZI AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

Bu kısımda bazı özel açı değerlerinin trigonometrik oranlarını hesaplayacağız.

# 30° – 60° – 90° Üçgeni

 

özel üçgenler-1

sin30=\frac{1}{2}                                                       sin60=\frac{\sqrt{3}}{2}

cos30=\frac{\sqrt{3}}{2}                                                      cos60=\frac{1}{2}

tan30=\frac{1}{\sqrt{3}}                                                    tan60=\sqrt{3}

cot30=\frac{\sqrt{3}}{1}                                                       cot60=\frac{1}{\sqrt{3}}

#45° – 45° – 90° Üçgeni

 

45-45-90 üçgeni

sin45=\frac{1}{\sqrt{2}}

cos45=\frac{1}{\sqrt{2}}

tan45=1

 

cot45=1

 

Bu değerler sorularda çokça sorulduğundan dolayı ezberleyerek veya soruya göre üçgenleri çizerek değerleri çıkarmak soruyu kolay çözmemize yardımcı olur. Şimdi tüm değerleri tek bir tabloda birleştirerek gösterelim.

 

trigomometrik-tablo

ÖRNEK

\frac{sin30+cos60}{tan30 . sin45}=?

Çözüm

Bu tarz bir soruyu çözebilmek için bu açılarının trigonometrik değerlerini bilmeliyiz. Tablodan değerlere bakarak çözelim.

sin30=\frac{1}{2}             cos60=\frac{1}{2}               tan30=\frac{1}{\sqrt{3}}                   sin45=\frac{1}{\sqrt{2}}

Şimdi bu değerleri soruda yazalım.

çözüm

 

 

 

 

DİĞER ÖRNEKLER

# ÖRNEK

trigonometri örnek 1

Yandaki ABC dik üçgeninde sinC=\frac{5}{13}  ise tanC=?
ÇÖZÜM:

trigonometri örnek-12

sinC=\frac{5}{13}   ise bu değerleri yerine yazarız ve pisagor teoreminden |BC| uzunluğunu buluruz.

5² + |BC|² = 13²

25 + |BC|² = 169       —->  |BC|² = 144 olur.  Buradan da |BC|=12 buluruz
Şimdi  tanC yi bulabiliriz. tanC=\frac{5}{12} olur.
# ÖRNEK

trigonometri örnek 2Yandaki ABC üçgeninde cosA=\frac{12}{13}   ise |AC|=?

 

 

 

 

ÇÖZÜM

Soruda verilen cos değerini ve üçgene göre olan cos değerlerini yazıp birbirine eşitleyelim.

Soruda bilgi olarak verilen : cosA=\frac{12}{13}

Üçgene bakarak bulduğumuz :cosA=\frac{24}{x}

Bu iki ifade eşit olduğundan \frac{24}{x} = \frac{12}{13} yazarız. İçler dışlar çarpımı yaparsak; 12.x=312  buluruz buradan da  x=26 çıkar.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir