Sayı Örüntüleri

Bu konumuzda  sayılar arasındaki ve sayılar ile şekiller arasındaki kurallı ilişkiyi inceleyen konuyu anlatacağız. Bu kurallı ilişkilere örüntü diyoruz. En basit örüntü kuralı örneklerinden birisi hepimizin bildiği çift sayılardır. Çift sayılar 0,2,4,6,8,10,.. şeklinde devam eder ve biz bir sonraki adımda hangi sayının geleceğini kuralı biliyorsak bulabiliriz.

8. sınıf sayı örüntüleri konusunda ise biz daha özel bazı sayı örüntülerini göreceğiz. Bunlar Pascal Üçgeni, Fibonacci sayıları, karesel sayılar, Üçgensel sayılar, aritmetik diziler ve geometrik diziler. Şimdi sırasıyla bunlara göz atalım.

#PASCAL ÜÇGENİ

 

pascal üçgeni

Resimde gördüğümüz gibi sayıları dizdiğimizde üçgene benzer şekiller elde ederiz. Pascal’ın ve Ömer Hayyam’ın gelişimine katkıda bulunduğu bu sayı dizinin kullanıldığı alanları anlatmayacağız sadece bu örüntünün nasıl elde edildiğini aşağıdaki resimde anlatıp devam ediyoruz.

pascal-üçgeni-kural

Görüldüğü gibi sayının üst çaprazındaki sayılarının toplanmasıyla üçgenimizi büyütüyoruz.

#FİBONACCİ SAYILARI

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Fibonacci sayıları adını  matematikçi Leonardo Fibonacci’den alır. Fibonacci sayıları her bir sayının kendinden önceki iki sayının toplanması ile oluşur.

fibonacci-sayıları

#KARESEL SAYILAR

Bir tam sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılara “karesel sayılar” diyoruz.

Karesel sayıları daha iyi anlamak için aşağıdaki şekilleri inceleyebiliriz.

karesel-sayılar

Resimde görüldüğü gibi bir kare elde etmek için gerekli küçük karelerin sayısını bulduk ve her seferinde adım sayısının karesini alarak örüntüyü devam ettirdik. Bu şekilde devam edersek n. adımdaki karesel sayı n ^{2}  olacaktır.
Karesel sayılar örüntüsü: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,… şeklinde devam eder.

#ÜÇGENSEL SAYI

Üçgensel sayılarda, karesel sayılara benzer. Bunda da noktalar kullanarak üçgenler elde etmeye çalışacağız.

üçgensel-sayılar

1. adımda 1 nokta, 2. adımda 2 nokta ve bu şekilde devam ederek n. adımdaki üçgensel sayıyı \frac{n.(n+1)}{2}  formülü ile buluruz.

Arıca bu formül bize 1’den başlayarak n’ye kadar olan sayıların toplamını da verir.

ÖRNEK: 1’den 10’a kadar (10 dahil) olan sayıların toplamı kaçtır?

n=10 için

\frac{n.(n+1)}{2}=\frac{10.11}{2}=55 buluruz.

dikkat

Sayılar arasındaki ilişkileri genelleştirdiğimiz kurallara  basitçe “genel terim” diyebiliriz. Matematiksel olarak da a_{{n}} sembolü ile gösteririz.


ÖRNEK:
Genel terimi 2n-5 olan dizinin 4. terimi kaçtır?

ÇÖZÜM:

Soruda bize genel terimi veriyorsa çözüm oldukça kolaydır. Genel terimdeki n adım sayısı anlamına gelir. 4. adımı sorduğu için n yerine 4 yazarsak çözebiliriz.

n=4 için

2n-5 —> 2.4-5=8-5=3

4. terim 3 tür.

#ARİTMETİK DİZİ

Bir sayıya belirlenen başka bir sayının art arda eklenmesi veya çıkarılması ile elde ettiğimiz dizilere biz aritmetik diziler diyoruz.

yıldızAritmetik dizilerde eklediğimiz veya çıkardığımız sayıya “dizinin ortak farkı” denir. Genellikle “d” veya “r” harflerinden birisi ile gösterilir.

ÖRNEK
4 sayısına ardışık olarak 3 ekleyerek bir dizi elde edelim.

1. terim–>4

2.terim–>4+3=7

3. terim–>4+3+3=10

4.terim–>4+3+3+3=13

Aritmetik dizimiz: 4, 7, 10, 13,… şeklinde olur.

Yukarıdaki örnekte birinci terim 4 ve ortak fark 3 olmuştur.

dikkat

Aritmetik dizilerin genel bir kuralı vardır. Bu kural sayesinde verilen tüm aritmetik dizi sorularını yapabiliriz.

a_{{n}}: Genel terim          a_{{1}}: Birinci terim           d: Ortak fark                   n: adım sayısı    dersek:

a_{{n}}=a_{{1}}+(n-1).d

formülünü kullanabiliriz.

ÖRNEK

1. terimi 14 ve ortak farkı 5 olan bir aritmetik dizinin ;

a) Genel terimini bulunuz.

b) 20. adımdaki terimini bulunuz.

ÇÖZÜM:

a) Genel terimi bulalım. Formülde verilen değerleri yerine yazıp düzenleme yapacağız. Aritmetik diziler için genel terim formülümüz

a_{{n}}=a_{{1}}+(n-1).d

verilenleri yazarsak.

a_{{n}}=14+(n-1).5   =14+5n-5  =5n+9

a_{{n}}=5n+9 buluruz. Şimdi istediğimiz adımdaki sayıları elde edebiliriz.

b) 20.adımdaki terimi bulalım.

Formülümüzde 20.adımı bulmak için n yerine 20 yazarız. n=20 için

a_{{20}}=5n+9

a_{{20}}=5.20+9

a_{{20}}=100+9

a_{{20}}=109  elde ederiz.

#GEOMETRİK DİZİ

Bir sayı ile belirlenen başka bir sayının art arda çarpılması veya bölünmesi ile elde ettiğimiz dizilere “geometrik diziler” diyoruz.

yıldız

Geometrik dizilerde çarptığımız veya böldüğümüz sayıya “dizinin ortak çarpanı” denir.                                                                    Genellikle “d” veya “r” ile gösterilir.

ÖRNEK

5 sayısını ardışık olarak 2 ile çarparak yeni bir geometrik dizi elde edelim.

ÇÖZÜM:

1. terim—>5

2. terim—>5×2=10

3. terim—>5x2x2=20

4. terim–>5x2x2x2=40

Yani dizimiz: 5, 10, 20, 40, 80, 160, … şeklinde devam eder.

dikkat

Geometrik dizilerin genel bir kuralı vardır. Bu kural sayesinde verilen tüm geometrik dizi sorularını yapabiliriz.

a_{{n}}: Genel terim          a_{{1}}: Birinci terim           d: Ortak çarpan                   n: adım sayısı    dersek:

a_{{n}}=a_{{1}}. d^{n-1}

formülünü kullanırız.

ÖRNEK

1. terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin;

a) Genel terimini bulunuz.

b) 4. adımdaki terimi bulunuz.

ÇÖZÜM

a) Genel terimi bulalım. Formülde bize verilenleri yerine yazıp biraz düzenleme yapacağız.

a_{{n}}=a_{{1}}. d^{n-1}

 

a_{{n}}=3. 2^{n-1}      elde ederiz.

b) n=4 için 4. terimi bulalım

a_{{n}}=3. 2^{n-1}

a_{{4}}=3. 2^{4-1}

a_{{4}}=3. 2^{3}

a_{{4}}=3. 8

a_{{4}}=24   bulunur.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir