Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

Merhaba. Rasyonel sayılar konusunun giriş bölümünü, rasyonel sayıların ondalık gösterimleri, rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma konularını daha önce göstermiştik. Bu konuda rasyonel sayılarla çarpma ve bölme kısmını göstereceğiz. Bu konuya temel oluşturacak tam sayılarla çarpma ve bölme, kesirlerle çarpma ve bölme konularının bilinmesi bu konuyu öğrenmede büyük kolaylık sağlar.

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

İki rasyonel sayı çarpılırken; 

♦ İlk rasyonel sayının payı ile ikinci rasyonel sayının payı çarpılıp sonucun payına,

♦ İlk rasyonel sayının paydası ile ikinci rasyonel sayının paydası çarpılıp sonucun paydasına yazılır. 

♦ Sonucun işaretine karar verilirken tam sayılarla çarpma işleminde uyguladığımız kural uygulanır.

ÖRNEK

\((-\frac { 4 }{ 5 } ).(+\frac { 2 }{ 3 } )=-\frac { 8 }{ 15 } \)

Örnekte görüleceği gibi zıt işaretlerin çarpımı negatif olacağından sonuç eksi işaretli, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı da paydaya yazıldı.

ÖRNEK

\( (-\frac { 2 }{ 7 } ).(-\frac { 1 }{ 9 } )=+\frac { 2 }{ 63 }  \)

Bir Tam Sayı İle Rasyonel Sayının Çarpımı

Bir tam sayı ile rasyonel sayıyı çarparken tam sayı ile rasyonel sayının payı çarpılır bulunan sonuç paya, payda da aynen kalır. Burada verilen tam sayının paydasında 1 olduğu düşünülerek işlem daha kolay hale getirilebilir.

ÖRNEK

\((-2).(+\frac { 3 }{ 7 } )=\frac { (-2).(+3) }{ 7 } =\frac { -6 }{ 7 } =-\frac { 6 }{ 7 } \)

Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Rasyonel sayılarla çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 

ÖRNEK

\((-\frac { 5 }{ 2 } ).(+\frac { 4 }{ 7 } )=(-\frac { 20 }{ 14 } )\)

Aynı işlemde rasyonel sayıların yerleri değiştiğinde sonuç değişmeyecektir.

\((+\frac { 4 }{ 7 } ).(-\frac { 5 }{ 2 } )=(-\frac { 20 }{ 14 } )\)

2. Rasyonel sayılarla çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

İkiden fazla rasyonel sayı çarpılırken, rasyonel sayıları farklı şekilde gruplandırarak çarpabiliriz. Sonuç değişmeyecektir.

\(\frac { a }{ b } ,\frac { c }{ d } ,\frac { e }{ f } \) ∈ Q alalım. Bu durumda;

\(\left( \frac { a }{ b } .\frac { c }{ d } \right) .\frac { e }{ f } =\left( \frac { c }{ d } .\frac { e }{ f } \right) .\frac { a }{ b } \) yazabiliriz.

3. Rasyonel sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanı +1’dir. Yani bir rasyonel sayı ile +1’i çarparsak sonuç değişmez.

ÖRNEK

\(\left( -\frac { 43 }{ 174 } \right) .(+1)=\left( -\frac { 43 }{ 174 } \right) \)

4. Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi, rasyonel sayının payı ile paydasının yer değiştirmesidir. Çünkü çarpma işlemine göre çarpımları +1 olan iki rasyonel sayı birbirinin tersidir denir.

Yani

\(+\frac { 3 }{ 5 } \) rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi \(+\frac { 5 }{ 3 } \) olur.

\(\left( -\frac { 7 }{ 8 } \right) \)  rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi \(\left( -\frac { 8 }{ 7 } \right) \) olur.

5. Rasyonel sayılarla çarpma işleminde 0 (sıfır) yutan elemandır.

\(\left( -\frac { 5 }{ 8 } \right) .0=0 \) bulunur.

Bir Rasyonel Sayının Karesi ve Küpü

♦ Bir rasyonel sayının karesi veya küpü o rasyonel sayının kendisiyle kaç defa çarpılacağını gösterir. Karesi bulunurken 2 defa, küpü bulunurken 3 defa çarparız. 

ÖRNEK

\({ \left( +\frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ 2 }=\left( +\frac { 2 }{ 3 } \right) .\left( +\frac { 2 }{ 3 } \right) =\left( \frac { 4 }{ 9 } \right) \)

ÖRNEK

\( { \left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 }={ \left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) }.{ \left( -\frac { 3 }{ 5 } \right) }=\left( +\frac { 9 }{ 25 } \right) \)

ÖRNEK

\( { \left( +\frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 3 }={ { \left( +\frac { 2 }{ 7 } \right) } }.{ { \left( +\frac { 2 }{ 7 } \right) }.{ \left( +\frac { 2 }{ 7 } \right) } }=\left( +\frac { 8 }{ 343 } \right) \)

ÖRNEK

\( { \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 3 }={ { { \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) } } }.{ { { \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) } }.{ { \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) } } }=\left( -\frac { 27 }{ 8 } \right) \)

Tam sayılı halde verilen bir rasyonel sayının karesi veya küpü alınacakken öncelikle bu rasyonel sayı kesirlerde yapıldığı gibi bileşik hale dönüştürülür ardından karesi veya küpü alınır.

ÖRNEK 

\({ \left( 2\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) .\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =\left( \frac { 49 }{ 4 } \right) \)

ÖRNEK

\( { \left( -1\frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ 3 }={ \left( -\frac { 7 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\)

\( =\left( -\frac { 7 }{ 5 } \right) .\left( -\frac { 7 }{ 5 } \right) .\left( -\frac { 7 }{ 5 } \right) \) \(=\left( -\frac { 343 }{ 125 } \right) \)

♦♦ Pozitif bir rasyonel sayının küpü pozitif bir rasyonel sayıdır.

♦♦ Negatif bir rasyonel sayının küpü negatif bir rasyonel sayıdır.

Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi

Bir rasyonel sayı diğerine bölünürken;

♦ Birinci rasyonel sayı aynen kalır, ikinci rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersini alır ilk rasyonel sayı ile çarparız

♦ Çarpma işlemi yapılırken rasyonel sayılarla çarpma işlemi kuralları uygulanır.

Yani;

\( \frac { a }{ b } ,\frac { c }{ d } \) ∈ Q alalım. 

\( \frac { a }{ b } :\frac { c }{ d } =\frac { a }{ b } .\frac { d }{ c } \) yazılır.

ÖRNEK

\(\frac { 2 }{ 3 } :\frac { 4 }{ 5 } \) işlemini yapalım.

Çözüm

\( \frac { 2 }{ 3 } :\frac { 4 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 3 } .\frac { 5 }{ 4 } =\frac { 10 }{ 12 } \) bulunur.

ÖRNEK

\( \left( -\frac { 27 }{ 10 } \right) :\left( +\frac { 3 }{ 2 } \right)  \) işlemini yapalım.

Çözüm

\( \left( -\frac { 27 }{ 10 } \right) :\left( +\frac { 3 }{ 2 } \right) \)

\( =\left( -\frac { 27 }{ 10 } \right) .\left( +\frac { 2 }{ 3 } \right) \)

\( =\left( -\frac { 54 }{ 30 } \right) =\left( -\frac { 9 }{ 5 } \right) \) bulunur.

Rasyonel sayılarla bölme yaparken verilen rasyonel sayılar arasında tam sayılı olan varsa öncelikle bunlar bileşik hale getirilir, ardından bölme işlemi yapılır.

ÖRNEK

\( \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) :\left( 3\frac { 1 }{ 2 } \right)  \) işlemini yapalım.

Çözüm

\( \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) :\left( 3\frac { 1 }{ 2 } \right) \) \(=\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) :\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) \) \( =\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) .\left( \frac { 2 }{ 7 } \right) \)

\(=\left( -\frac { 2 }{ 14 } \right) =\left( -\frac { 1 }{ 7 } \right) \) buluruz.

♦♦ Rasyonel sayılarla bölme işlemi çeşitli sembollerle gösterilebilir. Bunlar ” : ” sembolü, ” ÷ ” sembolü, ” / ” sembolü veya uzun kesir çizgisi sembolü olabilir. 

Aşağıdaki işlemlerin hepsi aynı anlama gelir.

ÖRNEK

\( \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) :\left( \frac { 3 }{ 8 } \right) \) veya 

\( \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) ÷\left( \frac { 3 }{ 8 } \right) \) veya

 \( \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) /\left( \frac { 3 }{ 8 } \right) \) veya 

\( \frac { \left( -\frac { 2 }{ 5 } \right) }{ \left( \frac { 3 }{ 8 } \right) } \)

İlk yorum yapan olun

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*