Pascal Üçgeni

Adını ünlü Fransız matematikçi Blaise Pascal‘dan alan binom katsayılarını içeren üçgene benzeyen yapısından ötürü bu adla çağrılan ünlü bir matematiksel sayı dizisidir. Pascal’dan önce İranlı, Hindistanlı ve Çinli matematikçiler tarafından da kullanılan bu ünlü sayı dizisini bulan Ömer Hayyam‘dır. Bu nedenle Hayyam Üçgeni olarak da adlandıranlar var.

Pascal üçgenini oluşturmak basittir. Bazı başlangıç kuralları bilindiği takdirde istenildiği kadar devam ettirebilir. Pascal üçgeninde öncelikle tepeye 1 yazılır. Her satır 1 ile başlayıp 1 ile son bulmalıdır. Örüntü üstteki iki sayının toplamının alta yazılması şeklinde devam eder.

Pascal Üçgenindeki Bazı Örüntüler ve Özellikler

Diyagonaller (Çaprazlar)

Pascal üçgeninde sayılara diyagonal (çapraz) olarak bakarsak ortaya yine sayı örüntüleri çıkar. Sayma sayıları, üçgensel sayılar… gibi.

Simetri

Ortada bir ayna varmış gibi düşünüldüğünde soldaki sayıların, sağdaki sayıların simetriği olduğu görülebilir.

Satırların Toplamı

Satırların toplamı her zaman çift ve 2’nin kuvvetidir.

11’in Kuvveti

Satırları tek başlarına sayılar olarak görürsek birkaç dokunuşla her satır 11’in bir kuvveti olarak yazılabilir.

115 için 1 5 10 10 5 1 satırının nasıl 161051 haline dönüştürüldüğünü aşağıdaki resimde görebilirsiniz.

Kareler

İkinci çaprazdaki sayıların kareleri, üçüncü çaprazda bulunan bu sayının hemen yanındaki ve altındaki sayının toplamına eşittir.

42=6+10

52=10+15 gibi.

Fibonacci Sayıları

Ünlü sayı dizisi Fibonacci de Pascal üçgeninde bulunabilir.

Sierpinski Üçgeni

Pascal üçgeninde tek ve çift sayıları farklı renklerle gösterirsek ortaya Sierpinski Üçgeni denilen ünlü örüntü çıkar.

 

Sierpinski Üçgeni

Pascal Üçgeninin Olasılıkta Kullanımı

Bir madeni paranın atılması deneyini düşünelim.

Paranın 1 kez atılması durumunda olası durumlar {Y},{T} dır. 1,1 ile gösterelim.

Paranın 2 kez atılması durumunda {YY}, {YT}, {TY}, {TT} dır.  1,2,1 ile gösterelim.

Paranın 3 kez atılması durumunda {YYY}, {YTT}, {TYT}, {TTY}, {YYT}, {YTY}, {TYY}, {TTT} dır. 1, 3, 3, 1 ile gösterelim.

Bu durumda paranın atılması deneyindeki olası sonuçlar ile pascal üçgenindeki sayıları ilişkilendirebiliriz.

Polinomların Katsayısı

Pascal üçgenini binom açılımında verilen değerlerin katsayılarını bulmada kullanabiliriz. Bu işlemlerde kolaylık sağlar.

Aşağıdaki Pascal üçgeninin 14 satırlık ilerletilmiş bir şeklini görebilirsiniz.

Çinli matematikçi Chu Shi-Chieh‘in 1300’lü yıllarda yazdığı “Dört Element’in Değerli Aynası” adlı kitapta Pascal üçgenini kullandığı görülmektedir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir