Özdeşlikler

özdeşlikler-konu-anlatım

Özdeşlikler konusuna geçmeden önce hangi eşitliğin özdeşlik hangi eşitliğin denklem olduğunun iyi bilinmesi gerekir. Bu yüzden öncelikle denklem ve özdeşliğin tanımlarına bakalım.

Denklem: Bilinmeyenin bir veya birkaç değeri için doğru olan eşitliklerdir.

ÖRNEK: 2(x-4)=4(x-6) ifadesinin denklem mi yoksa özdeşlik mi olduğuna bakalım.

2(x-4)=4(x-6) eşitliğinde x’i bulmaya çalışalım.

2x-8=4x-24 bilinenleri ve bilinmeyenleri bir araya getirirsek;

2x=16 ve buradan da x=8 çıkar. Bu şu anlama gelir: Verilen eşitlik x yerine 8 sayısını yazdığımızda doğru çıkar. Yani bu eşitliği doğrulayan bilinmeyen değeri sadece 8 dir. Farklı sayılar için bu eşitlik hep yanlış çıkacaktır. Örneğin x yerine 4 yazarsak 0=-8 çıkar ki bu da eşitliğin sol tarafının sağ tarafına eşit olmadığı anlamına gelir.

Özdeşlik: Bilinmeyenin bütün değerleri için doğru olan eşitliklerdir.

ÖRNEK: x(x+2)=x2+2x ifadesinin denklem mi yoksa özdeşlik mi olduğuna bakalım.

x(x+2)=x2+2x ifadesinde x yerine farklı sayı değerleri vererek kontrol edelim.

x=2 için deneyelim: 2(2+2)=22+2.2 Buradan da 8=8 çıkar, yani eşitlik geçerli.

x=0 için deneyelim: 0(0+2)=02+2.0 Buradan da 0=0 çıkar, yani eşitlik geçerli.

x=-3 için deneyelim: -3(-3+2)=(-3)2+2.(-3) Buradan da 3=3 çıka yani eşitlik yine geçerli.

Görüleceği gibi hangi sayı değerini verirsek verelim daima eşitliğin solu ile sağı eşit çıkacaktır. İşte görüldüğü gibi x’in bütün değerleri için eşitlik geçerli olduğundan verilen ifade özdeşliktir.

NOT: Bir ifadenin özdeşlik olup olmadığını anlamak için bilinmeyene farklı değerler vermek gerekmez. Cebirsel olarak eşitliğin bir tarafından diğer tarafındaki ifadeye ulaşabilirsek o eşitlik bir özdeşlik demektir.

ÖRNEK: (x-2)(x+3)=x2+x-6 ifadesinin özdeşlik olup olmadığını inceleyelim.

Eşitliğin sol tarafındaki (x-2)(x+3) ifadeden sağ taraftaki x2+x-6 ifadesine ulaşmaya çalışalım.

(x-2)(x+3) ifadesinde çarpma işlemlerini yapalım: x2+3x-2x-6 buradan da x2+x-6 bulunur. Yani eşitliğin sağındaki ifadeye ulaşmış olduk x2+x-6= x2+x-6. Öyleyse bu ifade özdeşliktir.

Bazı önemli özdeşlikler:

İki Terimin Toplamının Karesi Özdeşliği

(a+b)2=a2+2ab+b2 özdeşliğidir.

Bu özdeşliğin modellemesi de kenar uzunluğu a+b birim olan bir karenin alanının bulunmasıyla elde edilir.

(a+b)2=(a+b).(a+b) olduğu bilindiğinden kenarları (a+b) birim olan bir kare çizip alanına bakalım:

Büyük karenin içindeki alanları teker teker bulup toplarsak (a+b)2=a2+2ab+b2  özdeşliğini elde etmiş oluruz.

ÖRNEK

(x+2)2 ifadesinin özdeşini modelleme yardımıyla bulalım.

NOT: İki terimin toplamının karesi özdeşliğini modelleme olmadan çeşitli kısa yollarla da bulmak mümkün. Aşağıdaki yöntemle iki terimin toplamının karesi özdeşliği bulunabilir.

  • Birinci terimin karesi alınır.
  • Birinci terimle ikinci terim çarpılıp iki katı alınır.
  • İkinci terimin karesi alınır. Son olarak da bu ifadelerden benzer terimli olanlar toplanır.

ÖRNEK

(x+6)2 = x2 + 2.6.x + 62 = x2 + 12x + 36

(2a+5)2 = (2a)2 + 2.2a.5 + 52 = 4a2 + 20a + 25

(3x+2y)2 = (3x)2 + 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 +12xy +4y2

(√5+√2)2 = (√5)2 + 2. √5. √2 + (√2)2 = 5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10

İki Terimin Farkının Karesi Özdeşliği

(a-b)2=a2-2ab+b2 özdeşliğidir.

Bu özdeşliğin modellemesi de kenar uzunluğu a olan kareden b birimlik bir kenara sahip parçası çıkarılınca geriye kalan alanın bulunmasıyla elde edilir.

(a-b)2=(a-b).(a-b) olduğu bilindiğinden kenarları a birim olan bir kare çizip alanına bakalım:

İki terimin toplamının karesinde uyguladığımız kısa formül yine iki terimin farkının karesinin bulunmasında da kullanılabilir.

NOT: İki terimin farkının karesi özdeşliğini modelleme olmadan çeşitli kısa yollarla da bulmak mümkün. Aşağıdaki yöntemle iki terimin farkının karesi özdeşliği bulunabilir.

  • Birinci terimin karesi alınır.
  • Birinci terimle ikinci terim çarpılıp iki katı alınır.
  • İkinci terimin karesi alınır. Son olarak da bu ifadelerden benzer terimli olanlar toplanır.

ÖRNEK

(x-6)2 = x2 – 2.6.x + 62 = x2 – 12x + 36

(2a-5)2 = (2a)2 – 2.2a.5 + 52 = 4a2 – 20a + 25

(3x-2y)2 = (3x)2 – 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 -12xy +4y2

(√5-√2)2 = (√5)2 – 2. √5. √2 + (√2)2 = 5 – 2√10 + 2 = 7 – 2√10

İki Kare Farkı Özdeşliği

a2-b2 = (a+b)(a-b) özdeşliğidir. Bu özdeşliğin modellemesine kenar uzunluğu a birim olan bir kareden kenar uzunluğu b birim olan bir parçasını çıkarıp geriye kalan alanı bularak ulaşacağız.

Taralı bölgelerin alanları birbirine eşit olduğundan a2-b2 = (a+b)(a-b) bulunur.

ÖRNEK

x2 – 42 = (x+4)(x+4)

a2 – 36 = a2 – 62 = (a+6)(a-6)

4x2 – 81 = (2x)2 – (9)2 = (2x-9)(2x+9)

ÖRNEK

x=2001 ve y=1999 veriliyor. Buna göre x2 – y2 ifadesinin değeri kaçtır?

Hem 2001’in karesini hem de 1999’un karesini almak yerine iki kare farkı özdeşliğini kullanarak daha kolay bir şekilde bulabiliriz.

x2 – y2 = (x+y)(x-y) özdeşliğini kullanalım. Yani

20012 – 19992 = (2001+1999)(2001-1999) Buradan da 20012 – 19992 = 4000.2 = 8000 sonucuna ulaşırız.

İlk yorum yapan olun

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*