Kümeler

Küme Nedir?

Küme kavramı aslında matematikte tanımsız kabul edilen kavramlardan birisidir. Fakat küme kavramını, belirli nesnelerin oluşturduğu topluluk olarak ifade edebiliriz. 

Küme kavramının oluşması daha doğrusu bir topluluğun küme belirtmesi bazı özellikleri sağlaması gerekir. Yani her topluluk küme oluşturmaz.

1. Herhangi bir nesnenin topluluğa ait olup olmadığı kesin bilinmelidir.

2. Topluluğu oluşturan nesneler belirgin ve değişik olmalıdır.

♦ Topluluğu oluşturan nesnelere de eleman denir.

ÖRNEK

“Uçabilen hayvanlar” ifadesi bir küme belirtir. Çünkü oluşturduğumuz topluluğun (kümenin) elemanları belirlidir. 

“Haftanın günleri”, “Okulumuzdaki kız öğrenciler” küme belirtir.

ÖRNEK

“Bazı hayvanlar” ifadesi küme belirtmez. Çünkü oluşturduğumuz kümenin elemanlar net olarak belli değildir. Bazı hayvanlar dendiğinde herkesin aklına gelen hayvan farklı olabileceğinden her topluluk farklı olur. Elemanları belirgin olmadığından küme belirtmez.

“Kısa insanlar”, “bazı günler” gibi ifadeler küme belirtmez.

♦♦ Kümeler genel olarak büyük harflerle ifade edilirler. A kümesi, C kümesi, F kümesi gibi.

♦♦ Verilen bir A kümesine ait eleman elemanıdır anlamına gelen “∈” sembolüyle gösterilir.

Örneğin kümemiz “Rakamlar” olsun. Rakamlar kümesini R ile gösterelim. Bu durumda 5 bu kümenin elemanı olacağından;

5 ∈ R yani 5 elemanıdır R (Rakamlar kümesi) deriz.

Aynı şekilde,

1  ∈ R ve benzer şekilde 8 ∈ R deriz.

Fakat 11 bu kümenin bir elemanı değildir. Bu durumda da 11 ∉ R yani 11 elemanı değildir R kümesinin deriz.

♦♦ Kümede her eleman yalnız bir defa yazılır.

♦♦ Bir kümedeki elemanların sayısına eleman sayısı denir ve genellikle”s” sembolü ile gösterilir. 

Örneğin Süper Lig’teki takımların oluşturduğu kümenin eleman sayısı 18 dir. Biz bu kümeye F dersek F’nin eleman sayısı s(F)=18 şeklinde gösterilir.

Kümelerin Gösterilişi

Kümeler liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve venn şeması olmak üzere 3 farklı şekilde gösterilebilirler.

1. Liste Yöntemi

Kümenin bütün elemanları belliyse, bu elemanlar arasına virgül konularak {…} parantezleri arasına alınır. Alfabenin büyük bir harfiyle adlandırılır.

ÖRNEK

A={1, 2, 3, 4, 5}  

B= {pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma}

C= {ATATÜRK} Burada C kümesinin eleman sayısı 1’dir. Çünkü kümenin tek elemanı ATATÜRK ifadesidir.

2. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanlarının daha kolay algılanması için sözel olarak yazılması veya ortak elemanlardan birinin temsilci seçilerek ifade edilmesi yöntemidir.

A={Kış Ayları} kümesi A={Aralık, Ocak, Şubat}  kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterilişidir.

F={x: x ∈ N, 1<x<8} kümesi de 1 ile 8 arasındaki doğal sayıların kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterilmesidir. Bu küme F={2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesidir.

3. Venn Şeması

Kümenin elemanlarının kapalı şekiller içinde gösterimidir. Venn şemasında elemanların önüne karışmaması için nokta konur. Kümenin adı yine büyük harfle kümenin yanına yazılır.

Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } veya Ø sembollerinden biriyle gösterilir.

ÖRNEK

A={Haftanın Z harfi ile başlayan günleri} kümesinin eleman sayısı 0’dır. Bu durumda A kümesi boş kümedir. Yani A={ } veya A=Ø

A={ Ø } kümesi boş küme belirtmez. Elemanı Ø olan bir küme belirtir. Yani boş kümeyi göstermek için iki elemanı bir arada kullanmayız.

Eşit Küme ve Denk Küme

♦ Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. “=” sembolüyle gösterilir.

A={Rakamlar} ve B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümeleri verilsin. A ve B kümeleri eşit kümelerdir. A=B dir.

♦ Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. “≡” sembolüyle gösterilir.

F={y, c, t } ve B={ 4, 5, 6} kümeleri verilsin. F ve B kümeleri verilsin. F ve B kümeleri denk kümelerdir. F≡B dir.

Evrensel Küme

♦ Bütün kümeleri içine alan belirli bir alandaki en geniş kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme boş küme olamaz.”E” harfi ile gösterilir.

Alt Küme

♦ A ve B kümeleri verildiğinde A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa bu taktirde “A kümesi B kümesinin alt kümesidir” denir. A ⊂ B şeklinde gösterilir. Alt kümesi değilse A ⊄ B şeklinde gösterilir.

♦ Bu durumda “B kümesine de A kümesini kapsıyor” denir. B ⊃ A şeklinde gösterilir. 

ÖRNEK

T kümesinin elemanları {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B kümesinin elemanları {1, 2, 3}

B kümesinin her elemanı aynı zamanda T kümesinin de elemanı olduğundan B kümesi T kümesinin alt kümesidir denir. Yani T ⊂ B

Alt Kümenin Özellikleri

1. Boş küme her kümenin alt kümesidir. 

2. Her küme kendisinin alt kümesidir. A⊂A

3. İki küme birbirinin alt kümesiyle bu kümeler eşittir. A⊂B ve B⊂A ise A=B dir.

4. A⊂B ve B⊂A ise A ⊂ C dir.

5. A kümesinin eleman sayısı “n” ise, A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2n dir. 

Kümelerde İşlemler

Kesişim İşlemi

♦ A ve B kümeleri verildiğinde bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir.

A ∩ B şeklinde gösterilir ve “A kesişim B” şeklinde okunur.

Yukarıdaki venn şemasında mavi taralı alan A ve B kümelerinin kesişimini gösterir.

♦ Kesişimleri boş küme olan (hiç ortak elemanı olmayan) kümelere ayrık küme denir.

Kesişim İşleminin Özellikleri

1. A∩A=A

2. A∩Ø=Ø

3. A∩E=A

4. A∩B = B∩A (değişme özelliği)

5. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (birleşme özelliği)

Birleşim İşlemi

♦ A ve B kümeleri verildiğinde bu iki kümenin bütün elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir.

A ∪ B şeklinde gösterilir ve “A birleşim B” şeklinde okunur.

Taralı bölge A ∪ B dir.

♦ Ayrık kümelerin de birleşimi gösterilebilir.

Birleşim İşleminin Özellikleri

1. A∪A=A

2. A∪Ø=A

3. A∪E=E

4. A∪B = B∪A (değişme özelliği)

5. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (birleşme özelliği)

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir