Kombinasyon ve Permutasyon

kombinasyon

Kombinasyon konusu 8. sınıf konuları arasında her ne kadar kısa ders saatlerinde anlatılsa da matematiğin önemli konularından birisidir. Özellikle sınavlarda permütasyon ile farkının sorulduğu sorularda kafa karışıklığına neden olabilmektedir. Bu konumuzda kombinasyonun tanımını yapacağız ve permütasyon ile farkını açıklayıp örnek sorular çözeceğiz. 

Manavdan 2 çeşit meyve alacağımızı düşünelim. Marketteki meyve çeşitleri de Elma, Armut, Portakal, Kivi ve Muz olsun. Alabileceğimiz bütün meyve ikililerini tek tek yazalım.

Bunlar: {elma, armut}, {elma, portakal}, {elma, kivi}, {elma, muz}, {elma, portakal}, {armut, kivi}, {armut, muz}, {portakal, kivi}, {portakal, muz}, {kivi, muz} olmak üzere toplam 10 tanedir. Yani 5 çeşit meyve arasından herhangi ikisini alacaksak bunu seçmek için elimizde 10 farklı seçenek var demektir.

İşte bu 10 tercihi hesaplamak kombinasyon konusunun işidir.

Kombinasyon nedir ?

n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısına ” n’nin r’li kombinasyonları ” denir ve C(n,r) biçiminde ifade edilir.

Burada n dediğimiz tercih yapacağımız elemanlarının hepsinin sayısı ve r dediğimizde bizden istenen tercih sayısıdır.

#r hiçbir durumda n den büyük olamaz.

C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!.r!}

 

formülünü kullanarak kombinasyon hesaplamalarımızı yaparız.

ÖRNEK

Bir sınıftaki 13 öğrenci arasından 6 kişilik bir halkoyunu ekibi için öğrenci seçilecektir. Bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

ÇÖZÜM

n=13 ve r=6 dır. Sayıları formülde yerine koyarak faktöriyel işlemlerle sonucu bulalım.

Burada yapacağımız işlemleri faktöriyel konusunu kullanarak yapacağız. Bu işlemlerde eksikliğiniz olduğunu düşünüyorsanız faktöriyel konusunu da incelemelisiniz.

C(13,6)=\frac{13!}{(13-6)!.6!}

=\frac{13!}{6!.6!} 

= \frac{13.12.11.10.9.8.7!}{7!.3.2.1} 

= \frac{13.12.11.10.9.8}{3.2.1} 

=1716

Dikkat edilirse 13! ifadesini paydadaki 7! ifadesine benzetebilmek için 7! kadar açtık ve karşılıklı olarak sadeleştirdik.

ÖRNEK

10 çeşit yemek olan bir lokantada 3 çeşit yemek yemek isteyen birisi kaç farklı tercih yapabilir?

C(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!.3!}

=\frac{10!}{7!.3!}  

=\frac{10.9.8.7!}{7!.3!}  

=\frac{10.9.8}{3!}   

=\frac{10.9.8}{3.2.1}  

=120

ÖRNEK

Efe, bir oyun için 5 arkadaşından 3’ünü kaç farklı biçimde seçebilir?

C(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!.3!}

=\frac{5!}{2!.3!}

 =\frac{5.4.3!}{2!.3!} 

 =\frac{5.4}{2!}  

=\frac{5.4}{2.1}

 =10

ÖRNEK

Bir giyim mağazasına giden Uğur 5 farklı gömlekten 1 tane, 4 farklı kazaktan da 2 tanesini almak istiyor. Bu 3 kıyafeti kaç farklı şekilde alabilir?

Bu sorunun çözümünde iki farklı durumun birlikte değerlendirilmesi olduğu için gömlekler için ayrı kazaklar için ayrı seçim yapıp genel çarpma kuralını kullanarak bulduklarımızı çarpacağız.

Gömlek                                                                                                 Kazak

C(5,1)                                                                                                C(4,2)

 

C(5,1)=\frac{5!}{4!.1!}                                                                     C(4,2)=\frac{4!}{2!.2!}

 

=\frac{5.4!}{4!.1!}                                                                              =\frac{4.3.2!}{2!.2.1}

=5                                                                                     =6

Gömlek için 5, kazak için 6 farklı tercih yapabiliriz. İkisi için birlikte 5 x 6 = 30 farklı tercih yapma durumuz olur.

ÖRNEK

3 erkek ve 4 kız öğrenci arasından matematik yarışması için 1 erkek  ve 2 kız öğrencinin bulunduğu 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Sorunun cevabı 

Tıklayınız
cevap 18

Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Farklar

Permütasyon ve kombinasyon arasındaki en önemli fark: Permütasyonda sıralama yani dizilim önemliyken, kombinasyonda seçim önemlidir.

Her ikisinin de fomülünü yazacak olursak

Permütasyon –> P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

Kombinasyon –> C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!.r!}

ÖRNEK

12 öğrenci arasından bir sınıf başkanı ve bir başkan yardımcısı seçilmek isteniyor. Bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

ÇÖZÜM

Bu sorunun çözümünde permütasyon kullanırız. Çünkü 12 kişiden sınıf başkanını seçtiğimiz zaman yardımcıyı seçebileceğimiz 11 kişi kalır. Yani kimi seçtiğimiz burada önemlidir.

n=12 ve r=2 için

P(12,2)=\frac{12!}{(12-2)!}  

=\frac{12!}{10!}  

=\frac{12.11.10!}{10!} 

=12.11

 =132 

bulunur.

ÖRNEK

12 öğrenci arasından 2 öğrenci sınıf temsilcisi olarak seçilecektir. Bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

ÇÖZÜM

Bu soruda ise sadece seçim olduğundan yani bu 12 kişiden herhangi ikisini aynı anda seçeceğimizden kombinasyon kullanırız.

C(12,2)=\frac{12!}{(12-2)!.2!}  

=\frac{12!}{10!.2!}  

=\frac{12.11.10!}{10!.2!}  

=\frac{12.11}{2!}  

=\frac{12.11}{2.1} 

 =66   buluruz.

ÖRNEK

Birbirinden farklı 6 kitap, 3 kitap kapasiteli bir rafa yanyana dizilmek isteniyor. Kaç farklı biçimde dizilebilir?

ÇÖZÜM

Tıklayınız
Sıralama önemli olduğu için permütasyon kullanırız. P(6,3)=120

ÖRNEK

Uğur mağazada beğendiği 8 çeşit oyuncaktan 4 tanesini almak istiyor. Bu 4 oyuncağı kaç farklı biçimde seçebilir?

Tıklayınız
Seçim önemli olduğu için kombinasyon kullanırız. C(8,4)=70

Yuvarlak masa etrafında dizilme sorularında ise çembersel permütasyon kullanırız.

yıldız

ÇEMBERSEL PERMÜTASYON

n elemanlı bir kümenin çembersel permütasyonu  (n-1)!  formülü ile bulunur.

 ÖRNEK

Süper Ligteki 18 takımın başkanı bir toplantı yapacaklardır. Bu toplantıda yuvarlak bir  masa etrafında kaç farklı biçimde oturabilirler?

ÇÖZÜM

Çembersel permütasyon kullanırız. n=18 dir.

(18-1)!=17!    buluruz.

İlk yorum yapan olun

Bir yanıt bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.


*